두 평면 $\alpha : {x} + {3}y+{z}=0$, $\; \beta : {x} + {3}y - {z} = 0$ 의 교선을 $l$ 이라 할 때, 교선 $l$ 위의 점 $O$ 에 대하여 평면 $\alpha$ 위의 점 $P$ 와 평면 $\beta$ 위의 점 $Q$ 가 아래의 조건을 만족시킨다.
이때, 내적 $\vec{OP} \bullet \vec{OQ}$ 의 최댓값은? A. $\displaystyle \frac{\sqrt{101}}{11}$A. $\displaystyle \frac{\sqrt{101}}{11}$ B. $\displaystyle \frac{\sqrt{102}}{11}$ C. $\displaystyle \frac{\sqrt{101}}{10}$ D. $\displaystyle \frac{\sqrt{102}}{10}$ E. $\displaystyle \frac{\sqrt{82}}{11}$
1. $\vec{OP}$ 와 $\vec{OQ}$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 하면 $\vec{OP} \bullet \vec{OQ}=\cos \theta$ 이므로 $\theta$ 의 값이 가장 작을 때, $\vec{OP} \bullet \vec{OQ}$ 가 최댓값을 가진다. 점 $P$ 에서 평면 $\beta$ 에 내린 수선의 발을 $H$ 라 하면 선분 $OH$ 의 연장선위에 점 $Q$ 가 놓일 때, $\sin \theta$ 의 값이 $\overline{PH}$ 로 가장 작다. 그러므로 이때, $\theta$ 의 값이 가장 작다. 또한 $\vec{OP} \bullet \vec{OQ} = \cos \theta = \overline{OH}$ 이므로 $\vec{OP} \bullet \vec{OQ}$ 의 최댓값은 $\overline{OH}$ 이다.두 평면이 이루는 예각의 크기를 $\theta'$ 이라 하면 두 평면의 법선벡터가 각각 $\left(1, \; 3, \; 1\right)$, $\; \left(1, \;3, \; -1\right)$ 이므로 $\displaystyle \cos \theta' = \frac{9}{11}$이다. $\therefore$ $\; \displaystyle \sin \theta' = \frac{2}{11}\sqrt{10}$2. 점 $P$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $T$ 라 하면 삼수선의 정리에 의하여 $\overline{OT}$ 와 $\overline{TH}$ 는 서로 수직이다. 평면 $\alpha$ 위의 직각삼각형 $POT$ 에서 $\displaystyle \angle POT = \frac{\pi}{4}$ 이므로 $\overline{PT} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ 이다. 또, 직각삼각형 $PTH$ 에서 $\angle PTH = \theta'$ 이므로 $\overline{PH} = \overline{PT} \sin \theta' = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{2}{11}\sqrt{10} = \frac{\sqrt{20}}{11}$ $\therefore$ $\; \displaystyle \overline{OH} = \sqrt{\overline{OP}^{2} - \overline{PH}^{2}} = \sqrt{{1} - \left(\frac{\sqrt{20}}{11}\right)^{2}} = \frac{\sqrt{101}}{11}$ No More Steps
