등식 $\displaystyle \int_{d}^{1} {\frac{\sin\left({5}\ln{x}\right)}{x} {dx}} = 0$ 을 만족시키는 $1$ 보다 작은 양수 $d$ 의 값들을 큰 수부터 차례로 나열한 수열을 $\{a_{n}\}$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum_{{n}={1}}^{\infty} {a_{n}}$ 의 값은? A. $ \displaystyle \frac{1}{{{e}^{\frac{{2}{\pi}}{5}}} - {1}}$A. $ \displaystyle \frac{1}{{{e}^{\frac{{2}{\pi}}{5}}} - {1}}$ B. $ \displaystyle \frac{1}{{{e}^{\frac{{2}{\pi}}{5}}} +{1}}$ C. $\displaystyle \frac{1}{{{e}^{\frac{{\pi}}{5}}} - {1}}$ D. $\displaystyle \frac{1}{{{e}^{\frac{{\pi}}{5}}}+ {1}}$ E. $\displaystyle \frac{1}{{{e}^{\frac{{2}{\pi}}{5}}}}$
1. $\ln {x} =t $ 로 놓으면 $x=d$ 일 때 $t=\ln {d}$ 이고 $x=1$ 일 때 $t=0$ 이며 $\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$ 이므로 $\displaystyle\int_{d}^{1} {\frac{\sin\left({5}\ln{x}\right)}{x} {dx}} $$ \displaystyle = \int_{\ln{d}}^{0}{\sin\left({5}t\right)}{dt} $$\displaystyle = \left[ -{\frac{1}{5}} \cos\left({5}t\right)\right]_{\ln{d}}^{0} $$ =\displaystyle -{\frac{1}{5}} \left(\cos{0} - {\cos\left({5}\ln{d}\right)}\right)$$ \displaystyle = -{\frac{1}{5}} \left({1} - {\cos\left({5}\ln{d}\right)}\right) = 0$ 따라서 $\cos\left({5}\ln {d}\right)=1$ 이어야 하므로 ${5}\ln {d} = {2}{k}{\pi}$ 에서 $\displaystyle \ln {d} = \frac{{2}{k}{\pi}}{5}$ ($k$ 는 정수) $\therefore \; \displaystyle d={e}^{\frac{{2}{k}{\pi}}{5}}$ 그런데, ${0}<{d}<{1}$ 이므로 $\displaystyle \frac{{2}{k}{\pi}}{5}<0$ 이어야 한다. $\therefore \; \displaystyle d={e}^{-\frac{{2}{\pi}}{5}}$, $\displaystyle {e}^{-\frac{{4}{\pi}}{5}}$, $\cdots$ $\therefore \; \displaystyle a_{n} = \left({e}^{-\frac{{2}{\pi}}{5}}\right)^{n}$ ($n=1$, $2$, $3$, $\cdots$)2. 따라서 수열 $\{a_{n}\}$ 은 첫째항과 공비가 모두 $\displaystyle {e}^{-\frac{{2}{\pi}}{5}}$ 인 등비수열이므로 $\displaystyle\sum_{{n}={1}}^{\infty} {a}_{n} $ $ \displaystyle = \frac{{e}^{-\frac{{2}{\pi}}{5}}}{{1} - {{e}^{-\frac{{2}{\pi}}{5}}}}$ $ = \displaystyle \frac{1}{{{e}^{\frac{{2}{\pi}}{5}}} - {1}}$ No More Steps
