두 평면 $\alpha : {x} + {2}y+{z}=0$, $\; \beta : {x} + {2}y - {z} = 0$ 의 교선을 $l$ 이라 할 때, 교선 $l$ 위의 점 $O$ 에 대하여 평면 $\alpha$ 위의 점 $P$ 와 평면 $\beta$ 위의 점 $Q$ 가 아래의 조건을 만족시킨다.

(가) $\overline{OP} = 1$ 이고 두 점 $O$ 와 $P$ 를 지나는 직선이 $l$ 과 이루는 각의 크기는 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ 이다.
(나) $\overline{OQ}=1$

이때, 내적 $\vec{OP} \bullet \vec{OQ}$ 의 최댓값은?
A. $\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{6}$
B. $\displaystyle \frac{\sqrt{27}}{5}$
C. $\displaystyle \frac{\sqrt{27}}{6}$
D. $\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{5}$
E. $\displaystyle \frac{\sqrt{22}}{6}$